Стоимость денег во времени или Великая Тайна финансовой математики.

Итак, последняя тема из трех ключей для понимания финансов — это теория стоимости денег во времени. Если вам приходилось слышать о IRR, NPV, DPP и других аббревиатурах, которые повергают обычного неподготовленного обывателя в священный трепет, то в этой статье вы узнаете всё, и самое главное — поймёте главный кирпич, краеугольный камень это теории, который называется:

Процент. Да, да, мои юные, и не очень, друзья, обыкновенный процент, который начинают изучать пятиклассники в средней школе. Суть его проста, примитивна и не стоит обсуждения, за исключением того, что мы должны ввести некоторые термины, для облегчения дальнейшего понимания сути. А именно — мы должны ввести три основополагающих понятия — текущая стоимость, будущая стоимость, и вознаграждение, оно же интерес.

Представьте, что вы принесли в банк 100$ и хотите положить их на депозит на 12 месяцев, сиречь на год. Это ваша текущая стоимость денег, 100$ на нулевой отметке временной шкалы. Банк, беря ваши деньги на время для последующей выдачи их в кредит, предлагает вам за это использование вознаграждение в размере 12% годовых. Это ваш интерес, чтобы дать банку попользоваться вашими деньгами в течении года. Через год, в будущем, по истечении 12 месяцев вы получите свои 100$ плюс 12% в размере 12$, итого — 112$. Это — будущая стоимость ваших денег. Проценты в финансовом мире всегда измеряют в годовых, приводят к годовым, и даже если вы положили деньги на простой депозит на 3 месяца, то получите за три месяца 3$ к своим 100$. Разделив 3$ на 3 месяца и умножив на 12 месяцев в году, и потом разделив на сумму вложенных 100$ вы выясните, что ваше вознаграждение составляет те же самые 12% годовых. Итак, если вы перед посещением банка сделаете в уме эту несложную математическую операцию, то выглядеть она будет так:

112$ = 100$ × (100%+12%) = 100$ × (1+0,12) = 100$ × 1,12

в мировой финансовой практике принято пользоваться английским языком, поэтому будущую стоимость обозначают как Future Value или сокращенно FV, текущую стоимость как Present Value или PV, ну а процентное вознаграждение маленькой буковкой i — interest. И тогда получается, что наши текущие 100$ превращаются в PV, будущие 112$ в FV, а 12% годовых в i.

112$ = 100$ × (1+0,12) ⇒ FV = PV×(1+i) 

(1+i) — вот этот множитель, дорогой читатель, прошу запомнить, он нам еще пригодится. Это так называемый множитель наращения процентов. Если вам начисляют проценты один раз в год, по истечении срока депозита, значит это так называемый простой процент, который мы с вами только что рассмотрели. И множитель этот употребляется всего один раз.  Но сегодня банки начисляют проценты каждый месяц, и при этом не только на сумму ваших 100$, которые вы положили в самом начале, но и на сумму процентов, которые они начисляли вам в течении всех прошедших месяцев. Вот как это выглядит:

0 месяц, принесли 100$ в банк;

• 1 месяц, 100,00$ × (1+0,01) — начислили на 100,00$ 1% вознаграждения (разделили 12% годовых на 12 месяцев), итого на счете уже 101,00$;
• 2 месяц, 101,00$ × (1+0,01) — начислили на имеющиеся 101,00$ (сумма с процентами, начисленными в прошлом месяце) еще 1%, на счете уже 102,01$;
• 3 месяц, 102,01$ × (1+0,01) — начислили на имеющиеся 102,01$ (сумма с процентами, начисленными в прошлых 2-х месяцах) еще 1%, на счете уже 103,03$;

и так далее 12 раз каждый месяц…

В итоге, к концу года на депозитном счете будет не 112,00$ как в случае с простыми процентами, а 112,68$.

Именно из-за такой сложной системы начисления процентов на проценты такой процент называется не простым, а сложным. Как вы наверное заметили, ничего во множителе наращения процентов не изменилось, кроме того, что мы годовой номинальный процент привели к месячному, то есть разделили 12% на 12 месяцев, и начали умножать его сам на себя в каждом месяце:

103,03 = ((100,00 × (1+0,01)) × (1+0,01)) × (1+0,01) = 100,00 × (1+0,01)³

В итоге формула сложного процента будет выглядеть следующим образом:

FV = PV×(1+i)ⁿ 

где n — это количество периодов, в течении которых мы начисляли проценты, в нашем случае — 12 раз в году, каждый месяц. Получается, чтобы посчитать сложный процент, достаточно возвести множитель наращения процентов (1+i) в степень столько раз n, сколько раз начисляются проценты. Естественно, не забыв привести годовую ставку вознаграждения к тем периодам, по истечении которых начисляются проценты — месяцы, кварталы, полугодия и т.п.

Так при чем здесь теория стоимости денег во времени, спросите вы? А теория проста, как баурсак. Деньги в будущем — рассмотренные нами Future Values, FV никогда не равны деньгам в текущий момент — PV, Present Values. Подразумевается, что в нормальном капиталистическом обществе деньги не лежат под матрасом или в стеклянной банке в огороде, они всегда приносят проценты, если конечно их владелец не полный лох финансово безграмотный человек. И поэтому, когда вам предлагают оценить будущие денежные потоки, поступления денег, которые придут потом, то вы всегда должны приводить их к текущей, или как ее еще называют, приведенной стоимости. Продемонстрируем это на простом примере.

Предположим, что у вас лежат на банковском депозите деньги, 1 000 000 неважно в какой валюте, например, в тенге. Лежат они под 17,5% годовых, с ежемесячным начислением процентов, то есть, процент сложный. И тут к вам приходит ваш сосед, Федя Тапочкин, просит у вас ваш миллион в долг и обещает вернуть через те же 12 месяцев 1 180 000 тенге. Как поступить с рациональной точки зрения? Как узнать, стоит ли снимать деньги с депозита и отдавать их Феде, выгодно ли это? Ведь каждый нормальный член капиталистического общества стремится максимизировать свою прибыль. Что для этого нужно сделать? Нам нужно узнать, текущую, приведенную стоимость обещанных Федей денег из будущего. Если вы не пропускали уроки алгебры в 6 классе средней школы, то взглянув на нашу формулу:

FV = PV×(1+i)ⁿ 

начинаете догадываться, что надо сделать. Если для того, чтобы узнать стоимость денег в будущем, мы умножаем текущую стоимость на множитель наращения процентов, то для того, чтобы узнать текущую стоимость денег, зная будущую обещанную Федей Тапочкиным сумму, нужно сделать математическую операцию… обратную умножению! То есть разделить будущий денежный поток на множитель наращения процентов.

\[PV = \frac{FV}{(1+i)^n}\]

Попробуем и мы рассчитать приведенную стоимость:

\[991811,91 = \frac{1180000}{(1+0,175)^{12}}\]

В этом случае ставка депозита, которая начисляется на ваш миллион — это альтернативная ставка доходности, благодаря которой вы осуществили операцию, обратную начислению сложных процентов на будущие, обещанные денежные потоки Феди Тапочкина. Операция эта называется дисконтирование. И проделав такую операцию, мы со вздохом Феде откажем, потому что обещанные им денежные потоки при такой процентной ставке не равны миллиону тенге сегодня, а только 991 811,91.

Вот и вся тайна Великой Теории стоимости денег во времени! Заключается она в том, что

1. У всякого нормального члена капиталистического общества деньги не лежат без дела и процент начисляется всегда;
2. Чтобы узнать, какова будущая стоимость денег, нужно текущую, сегодняшнюю сумму умножить на множитель процента по той альтернативной ставке, которая вас устраивает;
3. Чтобы узнать, сколько стоит сегодня, в текущем моменте, обещанная в будущем сумма, нужно произвести операцию, обратную начислению процентов — дисконтирование.
4. Какой будет процент альтернативной ставки, и соответственно, множитель наращения процента (он же делитель дисконтирования) — сложный или простой, какое будет количество периодов — месяцы, кварталы, полугодия или годы — это уже частности.

Где применяется теория стоимости денег во времени? Всегда, когда вам нужно оценить обещанные денежные потоки в будущем. Например бизнес-план Феди Тапочкина. Или купоны по облигациям Халык-банка. Или прогнозируемые дивиденды корпорации Coca-Cola. Всегда нужно применять теорию стоимости денег во времени и приводить будущие денежные потоки к текущей, приведенной стоимости.

На этом всё, в следующем материале мы попробуем посчитать денежные потоки какой-нибудь спроектированной машины денег.